Schon in der Kindheit förderten Goeskes Eltern sein musikalisches Talent. Daneben entdeckte er ein Interesse fürs Theaterspielen. Mit neun Jahren wurde er in den Kinderchor der Bayerischen Staatsoper in München aufgenommen. Er war dort u. a. in ''La Bohème'' und ''Pique Dame'' auf der Bühne zu sehen. Als Schauspieler trat François in Uli Brees Musical ''Teddy − ein musikalischer Traum'' auf.

Mit der Figur des ‘Kreuzkamm Junior’ in Das fliegende Klassenzimmer übernahm er 2003 seine erste Rolle in einem Kinofilm. Kurz darauf lieh er in der deutschen Fassung von Disneys ''Das Dschungelbuch 2'' Mogli seine Gesangsstimme. Neben weiteren Synchronisationen war Goeske in einigen Fernsehproduktionen zu sehen. 2004 begannen die aufwendigen Dreharbeiten zu ''Bergkristall'' unter der Regie von Joseph Vilsmaier, der im Winter 2004/2005 im Kino lief. Goeske spielte darin die Rolle des Konrad. Für seine Leistung erhielt er im Rahmen des Münchner Filmfestes den Kinder-Medien-Preis 2005 und eine Nominierung für den deutschsprachigen Nachwuchspreis Undine Award 2005.

Im Sommer 2005 spielte Goeske die Hauptrolle im Kinofilm ''Französisch für Anfänger'' (u.a. mit Christian Tramitz). Für diesen Film wurde Goeske im Herbst 2006 erneut für den Internationalen Undine Award nominiert.

2007 mimte Goeske den 'Jim Hawkins' in der Pro-Sieben-Neuverfilmung des Abenteuerklassikers Die Schatzinsel, an seiner Seite spielten u.a. Tobias Moretti und Jürgen Vogel. Gleich im Anschluss drehte er mit Franka Potente ein Event-Remake des Antikriegsdramas Die Brücke.

Im Sommer 2008 wurde Goeske als Protagonist für die Verfilmung des englischen Jugendromans “Summertime Blues” (von Julia Clarke) verpflichtet, die 2009 ins Kino kam.

Im Herbst 2008 erhielt er zum dritten Mal eine Nominierung für den Undine Award, diesmal für seine Leistung in Die Schatzinsel.